# 一维谐振子
![图1-1 弹簧振子 图1-1 弹簧振子]()
力:F(x)=−kx
势函数:V(x)=21kx2=21mkmx2=21ω02mx2
弹簧振子的固有角频率:ω02=mk
Schrödinger 解法:
一维谐振子势函数:V(x)=21ω02mx2
相应 Schrödinger 方程:
iℏ∂t∂ψ(x,t)=−2mℏ2∂x2∂2ψ(x,t)+21ω02mx2ψ(x,t)
使用分离变量法,把 t 分离出来
令 ψ(x,t)=ϕ(x)e−iωt ,ω 为待定系数
Schrödinger 方程改写为
iℏ(−iω)ϕ(x)e−iωt=[−2mℏ2dx2d2ϕ(x)+21mω02x2ϕ(x)]e−iωt
ℏωϕ(x)=Eϕ(x)=−2mℏ2dx2d2ϕ(x)+21mω02x2ϕ(x)
化为解微分方程的定态问题
dx2d2ϕ(x)+ℏ22m(E−21mω02x2)ϕ(x)=0
奇异点分析:
当 ∣x∣→∞ 时,V(x)→∞ ,粒子为束缚态。∣x∣→∞limφ(x)=0
−2mℏ2dx2d2ϕ(x)+21mω02x2ϕ(x)≅0
令方程解为 ϕ~=eλx ,则 ϕ′=λeλx ,ϕ′′=λ2eλx
−2mℏ2λ2eλx+21mω02x2eλx=0
则
λ=±ℏmω0x
ϕ~=exp(±2ℏmω0x2)
dxdϕ~(x)=exp(−2ℏmω0x2)(−ℏmω0x)
dx2d2ϕ~(x)=exp(−2ℏmω0x2)(−ℏmω0x)2−ℏmω0exp(−2ℏmω0x2)
代入渐近方程:
−2mℏ2dx2d2ϕ~(x)+21mω02x2ϕ~(x)=[−2mℏ2(ℏmω0x)2−ℏmω0(−2mℏ2)]exp(−2ℏmω0x2)+21mω02x2exp(−2ℏmω0x2)≅(−21mω02x2+21mω02x2)exp(−2ℏmω0x2)=0
推得
−2mℏ2dx2d2ϕ~(x)+21mω02x2ϕ~(x)≅0
解得
ϕ~1=exp(−2ℏmω0x2),ϕ~2=exp(2ℏmω0x2)(x→∞,是发散的,舍弃)
我们要求波函数是平方可积的,所以要求 x→∞ ,波函数一定趋近于 0
令
ϕ(x)=ϕ~(x)χ(x)=exp(−2ℏmω0x2)χ(x)
ϕ′(x)=−ℏmω0xexp(−2ℏmω0x2)χ(x)+exp(−2ℏmω0x2)χ′(x)
ϕ′′(x)=[(ℏmω0x)2−ℏmω0]exp(−2ℏmω0x2)χ(x)−ℏ2mω0xexp(−2ℏmω0x2)χ′(x)+exp(−2ℏmω0x2)χ′′(x)
代入
−2mℏ2ϕ′′(x)+21mω02x2ϕ(x)=Eϕ(x)
−2mℏ2[(ℏmω0x)2−ℏmω0]exp(−2ℏmω0x2)χ(x)+21mω02x2exp(−2ℏmω0x2)χ(x)−ℏ2mω0xexp(−2ℏmω0x2)χ′(x)=Eexp(−2ℏmω0x2)χ(x)+exp(−2ℏmω0x2)χ′′(x)
−2mℏ2χ′′(x)+ℏω0xχ′(x)+21ℏω0χ(x)−21mω02x2χ(x)+21mω02x2χ(x)=Eχ(x)
2mℏ2χ′′(x)−ℏω0xχ′(x)+(E−21ℏω)χ(x)=0(福克斯Fuchs微分方程)
奇异点分析做完,把奇异点扣除,由于方程是二阶的,所以一定有两个线性无关的解在零点处解析(可在零点展成无穷级数)
χ(x)χ′(x)χ′′(x)=C0+C1x+C2x2+⋯=C1+2C2x+3C3x2+⋯=2C2+6C3x+⋯
2mℏ2χ′′−ℏω0xχ′+(E−21ℏω)χ=0
2mℏ2(2C2+6C3x+⋯)−ℏω0x(C1+2C2x+3C3x2+⋯)+(E−21ℏω)(C0+C1x+C2x2+⋯)=0
展开每项
2mℏ2⋅2C2+(E−21ℏω)C0+2mℏ2⋅6C3x+⋯−ℏω0xC1−ℏω0x⋅2C2x+⋯+(E−21ℏω)C1x+(E−21ℏω)C2x2+⋯=0
x 的一次幂、二次幂、三次幂作为函数是线性无关的,若其线性关系等于 0 ,则所乘系数必须等于 0 。
x0x1x2=2mℏ2⋅2C2+(E−21ℏω)C0=0=2mℏ2⋅6C3−ℏω0xC1+(E−21ℏω)C1=0=−ℏω0x⋅2C2+(E−21ℏω)C2=0⋮
C0 和 C1 不确定(有一定自由度),一旦给定,其余系数也都能给定。
- 取 C0=1 ,C1=0 ,则 C1=C3=C5=⋯=0
2mℏ2⋅2C2=−(E−21ℏω)⇓C2=−ℏm(E−21ℏω)C0=−(E−21ℏω),C4=0,C6=0
χ偶(x)=C0+C2x2+C4x4+⋯
当∣x∣→∞,χ偶(x)=exp(−ℏmω0x2)
ϕ(x)=exp(−2ℏmω0x2)χ偶(x)∣x∣→∞{exp(−2ℏmω0x2)exp(ℏmω0x2)exp(2ℏmω0x2)(发散需截断)
令 E−21ℏω=0 ,E0=21ℏω ,则 C2=0,C4=0,C6=0,⋯
χ0(x)=C0+C2x2+C4x4+⋯=C0=1
ϕ(x)=A0exp(−2ℏmω0x2)χ0(x)=A0exp(−2ℏmω0x2),A0为归一化系数。
- 取 C0=0 ,C1=1 则 C0=C2=C4=⋯=0
m3ℏ2C3=−(E−23ℏω)E=23ℏω(需截断否则发散)
C3=0,C5=0,⋯
χ1(x)=x
结论:当 E 取值为 En=(n+21)ℏω0 ,n=0,1,2,⋯ 时,χ(x) 的级数解会在某一阶截断,成为厄密多项式 Hn(y)(为实函数),χn(x)=Hn(y)=Hn(ℏmω0x) 。
ϕn(x)=Anexp(−2ℏmω0x2)Hn(ℏmω0x),An=[π2nn!ℏmω0]21
引入归一化系数 An ,使得波函数归一化,即
ϕn(x)=Anexp(−2ℏmω0x2)Hn(ℏmω0x),An=[π2nn!ℏmω0]21
∫−∞∞ϕn∗(x)ϕn(x)dx=∫−∞∞∣ϕn(x)∣2dx=1
(ϕm,ϕn)=∫−∞∞ϕm∗(x)ϕn(x)dx=0(若m=n)
∫−∞∞ϕm∗(x)ϕn(x)dx=δmn
引入记号 α=ℏmω0
ϕ0(x)=π1/4αe−2α2x2,ϕ1(x)=π1/42ααxe−2α2x2,ϕ2(x)=π1/4α/2(2α2x2−1)e−2α2x2,E0=21ℏω0E1=23ℏω0E2=25ℏω0⎭⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎫En=(n+21)ℏω0
E0=21ℏω0 为零点能。
估算:
x∼0⇒xˉ∼(Δx)2,Px∼0⇒Px∼(ΔPx)2
xˉ⋅Px∼(Δx)2(ΔPx)2∼41ℏ2=21ℏ
⇒xˉ=2ℏPx1
E≅2mP2+21mω02xˉ2=2mP2+21mω024ℏ2P21
令 t=P2 ,
dtdE(t)=2m1+81mω02ℏ2(−t21)=0
2m1=−81mω02ℏ2(t21)
⇒t2=(21mω0ℏ)2⇒tmin=21mω0ℏ
Emin=E(tmin)=2mtmin+21mω024tminℏ2=2m12mω0ℏ+21mω0242mω0ℏℏ2=41ℏω0+41ℏω0=21ℏω0
# 一维定态体系的一些基本性质
定理一
设势能函数 V(x) 为实函数。若 ψ(x) 是本征方程的解,则 ψ∗(x) 也是一个解,对应本征值也是 E(也适用于二维)。
证明:
若V∗(x)=V∗(x),即V∗(x)为实函数
Eψ(x)=−2mℏ2dx2d2ψ(x)+V(x)ψ(x)
[Eψ(x)]∗=Eψ∗(x)=[−2mℏ2dx2d2ψ(x)+V(x)ψ(x)]∗=−2mℏ2dx2d2ψ∗(x)+V(x)ψ∗(x)
推论
若方程的本征值 E 是非简并的,则相应的本征函数可以取作实函数。
非简并就是方程只有一个线性无关的解,一定有 ψ∗(x)=Cψ(x) ,
∫∣ψ∗(x)∣2dx=∫∣Cψ(x)∣2dx=∣C∣2∫∣ψ(x)∣2dx
假设 ∫∣ψ(x)∣2dx=1 ,因 ∫∣ψ∗(x)∣2dx=1 ,则 ∣C∣2=1 ,C=eiα ,ψ∗=ψ∣eiα∣2 。
定理二
设势能函数 V(x) 为实函数,则对应于任何方程的本征值 E ,总可以找到方程的一组实函数解。凡是属于本征值 E 的任何一个解,都可以表示成这组实函数解的线性叠加。
假设 ψ(x),ψ∗(x) 线性无关,即 C1ψ(x)+C2ψ∗(x)=0 ,则只有 C1=0,C2=0
定义 φ(x)=ψ(x)+ψ∗(x),χ(x)=−i[ψ(x)−ψ∗(x)](两函数都是实的,取复共轭等于其自身)
假设 D1φ+D2χ=0
D1[ψ(x)+ψ∗(x)]+D2{−i[ψ(x)−ψ∗(x)]}D1ψ+D1ψ∗−iD2ψ+iD2ψ∗(D1−iD2)ψ+(D1+iD2)ψ∗=0=0=0
因为 ψ,ψ∗ 线性无关,则
{D1−iD2=0D1+iD2=0⇒{D1=0D2=0
定理三
设势能函数 V(x) 具有空间反射对称性( V(−x)=V(x) )。若 ψ(x) 是方程的一个解,则 ψ(−x) 亦是该方程的一个解。
证明:令 x′=−x ,
Eψ(−x)=−2mℏ2dx2d2ψ(−x)+V(x)ψ(−x)=−2mℏ2dx2d2ψ(x′)+V(−x′)ψ(x′)⇓V(x)具有空间反射对称性。=−2mℏ2dx2d2ψ(x′)+V(x′)ψ(x′)=Eψ(x′)
当 E 为非简并时,有 P^ψn(x)=ψn(−x)=Cψ(x)
经过两次反射后,P^(P^ψ(x))=P^(ψ(−x))=P^(Cψ(x))=C2ψ(x)
因此 C2=1 或 C=±1 ,C 为波函数的宇称值,P^ 称为宇称算符。
若 P^ψn(x)=ψn(−x) ,则称 ψn(x) 具有偶宇称;若 P^ψn(x)=−ψn(x) ,则称 ψn(x) 具有奇宇称。
对于一维谐振子,由于它的每一条能级都是非简并的,因此相应的本征函数都具有确定的宇称。En=(n+21)ℏω0 ,P^φn(x)=φn(−x)=(−1)nφn(x) 。
定理四
设势能函数 V(x) 具有空间反射对称性。则对应于任何一个本征值 E ,我们总可以找到方程的一组解,它们的每一个都具有确定的宇称。而且,任何对应于本征值 E 的解 ψ(x) 都可以按照它们来展开。
证明:ψ(−x)=Cψ(x),ψ(x) 和ψ(−x) 是线性无关的,即 C1ψ(x)+C2ψ(−x)=0(C1=0,C2=0)
定义
ϕ(x)ϕ(−x)=ψ(x)+ψ(−x)=ψ(−x)+ψ(−(−x))=ψ(−x)+ψ(x)=ϕ(x)
ϕ(x) 和ϕ(−x) 也是线性无关的,上面看出 ϕ(x) 具有偶宇称。
而在定理二的证明中,χ(−x)=ψ(−x)−ψ(−(−x))=ψ(−x)−ψ(x)=−χ(x),即χ(x) 具有奇宇称。
定理五
对于一维空间的 Schrödinger 方程,若 ψ1(x) 和 ψ2(x) 是对应于同一本征值 E 的两个解,则有 ψ1(x)ψ2′(x)−ψ1′(x)ψ2(x)=常数。
证明:
{Eψ1(x)=−2mℏ2dx2d2ψ1(x)+V(x)ψ1(x)Eψ2(x)=−2mℏ2dx2d2ψ2(x)+V(x)ψ2(x)(1)(2)
(1)×ψ2(x)−(2)×ψ1(x) 得
−2mℏ2[ψ2(x)dx2d2ψ1(x)−ψ1(x)dx2d2ψ2(x)]=0
从方程中得
dxd[ψ1(x)ψ2′(x)−ψ1′(x)ψ2(x)]=0
因此
ψ1(x)ψ2′(x)−ψ1′(x)ψ2(x)=常数(仅一维空间)
定理六
假设粒子在一个一维空间中规则(即没有奇异点)的势函数 V(x) 中运动,则其束缚态必为非简并的。
证明:势函数 V(x) 为规则的 ⇒ Schrödinger 方程的任何一个解 ψ(x) 及其一阶导数 ψ′(x) 在空间的每一点都连续。
V(x)没有太多奇异性(regular)⇒{(1)不包含δ函数(2)V(x)有有限个阶跃
假设 En 是粒子的一个束缚态的本征值且简并,则可以找到至少两个本征函数 ψ1(x) 和 ψ2(x) 与它对应。
另一方面根据定理五,有
ψ1(x)ψ2′(x)−ψ1′(x)ψ2(x)=常数
对于束缚态,有渐进关系
∣x∣→∞limψ1(x)=∣x∣→∞limψ2(x)=0
则常数为零,方程改写为
ψ1(x)ψ1′(x)ψ11dxdψ1dxdlnψ1lnψ1或ψ1(x)=ψ2(x)ψ2′(x)=ψ21dxdψ2=dxdlnψ2=lnψ2+C=eCψ2(x)=Aψ2
即 ψ1(x) 与 ψ2(x) 线性相关,这与假设不符,因此得证。
总结:
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧(1)定理一、二:势函数为实函数的情况;(2)定理三、四:势函数具有空间反射对称性的情况;(3)定理五、六:仅适用于一维空间,高维空间不成立。
# 一维方势阱
在量子力学中,一般给定势能函数较复杂,实际中可以近似于方势阱,其结果在定性上与真实出入不大。
![图3-1 一维谐振子势函数 图3-1 一维谐振子势函数]()
V(x)=21kx2
![图3-2 双曲余弦势函数 图3-2 一维谐振子势函数]()
V(x)=chx=2ex+e−x
# 无穷深一维方势阱
对于一维谐振子、双曲余弦函数的近似。
![图3-3 图3-3]()
V(x)=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧+∞,0,−∞,x⩽00⩽x⩽ax⩾a
阱内:
Eψ(x)=−2mℏ2dx2d2ψ(x)
阱外:令 ψ(x=0)=0 ,ψ(x=a)=0
Eψ(x)+2mℏ2dx2d2ψ(x)dx2d2ψ(x)+ℏ22mEψ(x)=0=0
令解 ψ=eλx ,ψ′=λeλx ,ψ′′=λ2eλx
λ2eλxλ+ℏ22mEeλx=0=−ℏ22mE
解得:
ψ1=exp(−iℏ22mEx),ψ2=exp(iℏ22mEx)
因为 ψ1(x=0)=1 ,ψ1(x=a)=exp(−iℏ22mEx)=0
ψ1 和 ψ2 线性无关,取其线性组合(原因:Schrödinger 方程是线性的)。
ψ=C1ψ1+C2ψ2=C1exp(−iℏ22mEx)+C2exp(iℏ22mEx)
- 由条件 ψ(x=0)=0 得,C1e0+C2e0=C1+C2⟹C1=−C2
ψ(x)=C1ψ1+(−C1)ψ2=C1(ψ1−ψ2)=C1[exp(−iℏ22mEx)−exp(iℏ22mEx)]=−2iC1⎣⎢⎢⎡−2iexp(−iℏ22mEx)−exp(iℏ22mEx)⎦⎥⎥⎤=(−2iC1)sinℏ22mEx=Dsinℏ22mEx
sinxcosx=2ieix−e−ix=2eix+e−ix
- 由条件 ψ(x=a)=0 得,
ψ(x=a)=Dsinℏ22mEa
令 ℏ22mEa=nπ,n=1,2,3,⋯
En=2ma2n2π2ℏ2,ψn(x)=Dnsinanπx
∫0n∣ψn(x)∣2dx∫0n∣Dn∣2sin2anπxdx=1=1=∣Dn∣2∫0nsin2anπxdx=∣Dn∣2∫0n2